3º de ESO
Capítulo 8: Movimientos en
el plano y el espacio. Páginas
webs asociadas
www.apuntesmareaverde.org.es
Autoras: Adela Salvador y María Molero
Composición de transformaciones
geométricas
Ejemplo:
ü Observa cómo se ha construido este bello mosaico de la
Alhambra:
Cuando aplicamos varias
transformaciones, estamos componiendo transformaciones geométricas.
Simetría central en el plano.
Centro de simetría
Actividades resueltas
ü Observa cómo se construye el simétrico, respecto a una
simetría central de centro (2, 3), de un polígono:
El
simétrico del punto A (8, 1) es el
punto A’ (-4, 5). Se ha trazado la recta OA. Con centro en O y
radio OA se traza un arco de
circunferencia que corta a la recta OA en
A’. Lo mismo para obtener el
simétrico de los otros vértices del polígono. Si los otros vértices son B (12, 7), C (9, 10), D (5, 8) y E (7, 6), ¿cuáles son sus simétricos
respecto a la simetría central de centro (2, 3)?
Simetrías axiales. Eje de simetría
ü Para hallar el simétrico del punto P respecto del eje de simetría r, utiliza un compás y haciendo centro
en P con radio suficientemente grande
traza un arco de circunferencia que corte a r
en dos puntos, A y B. Sin variar de radio y con centro en A y en B traza otros dos arcos que se cortan en P’, simétrico de P
respecto a r. Observa que PAP’B es un rombo pues sus cuatro lados
son iguales, por lo que sabemos que sus diagonales son perpendiculares y se
cortan en el punto medio.
ü Dibujo del punto simétrico de otro utilizando regla y
escuadra:
Tenemos el eje de simetría y queremos encontrar el
simétrico del punto P (4, 1).
Dibujamos el punto P (4, 1) en un
sistema de coordenadas y tomamos la escuadra. Apoyamos la escuadra sobre el eje
de simetría y hasta que toque al punto. Trazamos una recta auxiliar,
perpendicular al eje y que pase por el punto P. Medimos la distancia del punto al eje y llevamos esa longitud
sobre la recta auxiliar, y ya tenemos el punto simétrico.
Mosaicos
Generación de un mosaico mediante
giros y traslaciones:
Observa cómo primero dibuja
una trama de cuadrados, dibuja un motivo mínimo formado por dos segmentos,
luego le aplica isometrías a ese motivo: giros de 90°, con los que dibuja la estrella, que por simetría
completa la celda unidad a la que por último la traslada por todo el mosaico.
Utiliza una trama de
cuadrados, o dibuja una en tu cuaderno, para diseñar un mosaico parecido a
este. Marca en la trama los centros de giros de 90° y de 180°. Marca los ejes de simetría. Dibuja un motivo mínimo sencillito, por
ejemplo, una poligonal, y muévelo usando esas transformaciones. Completa
primero la celda unidad, y luego trasládala.
Presentaciones:
Un buen resumen de este capítulo lo tienes en esta
presentación en Power Point:
Algunas presentaciones
de Power Point:
Ø
Sobre frisos y mosaicos
./3ESO/Movimientosenelplano.pdf
Ø
Frisos y mosaicos
en la web: En Pensamiento Matemático:
http://innovacioneducativa.upm.es/sandbox/pensamiento/chip_geometrico/geometria_y_arte.pdf
Trabajos
realizados por estudiantes que pueden servir de modelo para que, ahora ellos,
realicen otros similares:
Ø Frisos y
rejas unidos por las Matemáticas.
Presentación confeccionada por dos alumnas de 2º de bachillerato del Instituto Salvador Victoria de Monreal del Campo de Teruel: Pilar Lorente Lorente y Paloma Plumed Martín. Es un trabajo interesante sobre frisos y rejas, aunque, opinamos, que algún friso no está correctamente clasificado. Sin embargo, es un magnífico modelo para inspirar otros trabajos de salir a la calle y fotografiar o dibujar rejas, mosaicos, u otros tipos de frisos.
Ø Power Point que recoge trabajos sobre mosaicos de
diferentes alumnos de la Universidad Politécnica de Madrid. Puede también
servir de inspiración para proponer al alumnado que confeccione sus propios
mosaicos.
Internet
Buscando en internet hemos encontrado, bajo el título
de los 17 grupos de simetría en el plano, la siguiente entrada: http://www.acorral.es/index3.htm.
Son prácticas con Geogebra sobre mosaicos, frisos y celosías. Están diseñados,
con diseños vistosos y originales mosaicos con los 17 grupos. Al final hay una
tabla, a modo de resumen, que permite identificar y clasificar cada grupo de
simetría. También hay una hoja de trabajo para el alumnado.
También en Internet, en http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia
y en particular en:
http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_03.html
un trabajo sobre los grupos
de autosimetría de los cristales sumamente interesante y de un nivel muy alto.
Existe 32 clases de redes cristalinas: triclínico, monoclínico, tetragonal,
cúbico, hexagonal… Estudia que sólo 11 tienen centro de simetría. Al analizar
cuáles son compatibles con la traslación se obtienen las redes (o redes de
Bravais) de las que hay 11 redes. Combinando los 32 grupos cristalográficos con
las 11 redes encuentra que hay 230 formas posibles de repetir un objeto finito
(motivo mínimo) en el espacio de dimensión tres.